Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} x+2y \le 5 \\ 5x-2y \ge 1 \\ y+1 \ge 0 \end{array} \right. $ trên mặt phẳng toạ độ. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ F\left( x;y \right)=7x-3y $ với $ \left( x;y \right) $ thoả mãn hệ trên.

Vẽ các đường thẳng $ d: x+2y=5 $; $ d_{1}: 5x-2y=1 $; $ d_{2}: y+1=0 $ trên mặt phẳng toạ độ. Vì $ 0+2 \cdot 0 = 0 < 5 $ nên gốc toạ độ $ O\left( 0;0 \right) $ thoả mãn bất phương trình $ x+2y \le 5 $. Do đó miền nghiệm $ D_{1} $ của bất phương trình $ x+2y \le 5 $ là nửa mặt phẳng bờ $ d $ chứa gốc toạ độ $ O $. Tương tự, miền nghiệm $ D_{2} $ của bất phương trình $ 5x-2y \ge 1 $ là nửa mặt phẳng bờ $ d_{1} $ không chứa gốc toạ độ $ O $. Miền nghiệm $ D_{3} $ của bất phương trình $ y+1 \ge 0 $ là nửa mặt phẳng bờ $ d_{2} $ chứa gốc toạ độ $ O $. Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tam giác $ ABC $ với toạ độ các đỉnh là $ A\left( 7;-1 \right) $, $ B\left( 1;2 \right) $, $ C\left( -\frac{1}{5};-1 \right) $. Tính giá trị của biểu thức $ F(x;y) $ tại các đỉnh: $ F\left( 7;-1 \right) = 7 \cdot 7 - 3 \cdot (-1) = 52 $ $ F\left( 1;2 \right) = 7 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = 1 $ $ F\left( -\frac{1}{5};-1 \right) = 7 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) - 3 \cdot (-1) = \frac{8}{5} $. So sánh các giá trị trên, ta được giá trị nhỏ nhất của $ F(x;y) $ là $ 1 $, đạt được tại điểm $ B(1;2) $.