Trắc nghiệm · Câu 44
Cho $\sin a = \frac{3}{5}$ với $\cos a < 0$ và $\cos b = \frac{3}{4}$ với $\sin b > 0$. Giá trị của $\sin(a - b)$ bằng:
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
C.
$\frac{1}{5}\left(\sqrt{7} + \frac{9}{4}\right).$
Lời giải
Lời giải
Xét các góc lượng giác $a$ và $b$, ta tính các giá trị lượng giác còn lại như sau:
Vì $\sin a = \frac{3}{5}$ và $\cos a < 0$, áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản, ta có:
$$\cos a = -\sqrt{1 - \sin^2 a} = -\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = -\frac{4}{5}.$$
Vì $\cos b = \frac{3}{4}$ và $\sin b > 0$, áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản, ta có:
$$\sin b = \sqrt{1 - \cos^2 b} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}.$$
Áp dụng công thức cộng đối với sin, ta có:
$$\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$$
Thay các giá trị vừa tìm được vào biểu thức:
$$\sin(a - b) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} - \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$$
$$\sin(a - b) = \frac{9}{20} + \frac{4\sqrt{7}}{20} = \frac{9 + 4\sqrt{7}}{20}$$
Biến đổi kết quả thu được về dạng của phương án lựa chọn:
$$\sin(a - b) = \frac{1}{5} \left(\frac{9}{4} + \sqrt{7}\right).$$
Vậy đáp án đúng là C.