Biết $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$ và $\cot\alpha, \cot\beta, \cot\gamma$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tích số $\cot\alpha \cdot \cot\gamma$ bằng:

Lời giải: Vì ba số $\cot\alpha, \cot\beta, \cot\gamma$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có hệ thức: $\cot\alpha + \cot\gamma = 2\cot\beta$ (1) Mật khác, từ giả thiết $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$, ta suy ra $\beta = \frac{\pi}{2} - (\alpha + \gamma)$. Áp dụng công thức góc phụ nhau và công thức cộng đối với hàm số tang, ta có: $\cot\beta = \cot\left[\frac{\pi}{2} - (\alpha + \gamma)\right] = \tan(\alpha + \gamma) = \frac{\tan\alpha + \tan\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\gamma}$ Biến đổi biểu thức theo côtang bằng cách thay $\tan x = \frac{1}{\cot x}$: $\cot\beta = \frac{\frac{1}{\cot\alpha} + \frac{1}{\cot\gamma}}{1 - \frac{1}{\cot\alpha \cdot \cot\gamma}} = \frac{\cot\alpha + \cot\gamma}{\cot\alpha \cdot \cot\gamma - 1}$ (2) Thay thế (1) vào tử số của (2), ta được: $\cot\beta = \frac{2\cot\beta}{\cot\alpha \cdot \cot\gamma - 1}$ Vì $\cot\beta \neq 0$, chia cả hai vế cho $\cot\beta$ ta có: $1 = \frac{2}{\cot\alpha \cdot \cot\gamma - 1} \Rightarrow \cot\alpha \cdot \cot\gamma - 1 = 2 \Rightarrow \cot\alpha \cdot \cot\gamma = 3.$