Tìm m để phương trình: $ 16x ^ { 4 } -ax ^ { 3 } +\left ( { 2a+17 } \right )x ^ { 2 } -ax+16=0 $ có bốn nghiệmphân biệt lập thành cấp số nhân?

Chọn A Giả sử phương trình: $ ax ^ { 4 } +bx ^ { 3 } +cx ^ { 2 } +dx+e=0\quad \left ( { a≠0 } \right ) $có 4 nghiệm$ x_{ 1 } ,x_{ 2 } ,x_{ 3 } ,x_{ 4 } $ theo định lý Viet bậc 4 ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ 1 } +x_{ 2 } +x_{ 3 } +x_{ 4 } =-\frac { b } { a } \\ x_{ 1 } x_{ 2 } +x_{ 1 } x_{ 3 } +x_{ 1 } x_{ 4 } +x_{ 2 } x_{ 3 } +x_{ 2 } x_{ 4 } +x_{ 3 } x_{ 4 } =\frac { c } { a } \end{array} \right. $ Áp dụng vào bài ta có: * Điều kiện cần: Nếu $ x=a $ là 1 nghiệm của phương trình thì $ x=\frac { 1 } { a } $cũng là một nghiệm của phương trình Giả sử 4 nghiệm đó là:$ a;\ aq;\ aq ^ { 2 } ;\ aq ^ { 3 } $ với $ a≠0;\ \left | { q } \right |≥1⇒\left | { a } \right | < \left | { qa } \right | < \left | { q ^ { 2 } a } \right | < \left | { q ^ { 3 } a } \right | $ Do $ \frac { 1 } { a };\frac { 1 } { qa };\frac { 1 } { q ^ { 2 } a };\frac { 1 } { q ^ { 3 } a } $ cũng là nghiệm nên $ aq ^ { 3 } =\frac { 1 } { a }⇔;q=a ^ { -\frac { 2 } { 3 } } $=> 4 nghiệm là:$ a;a ^ { \frac { 1 } { 3 } } ;a ^ { -\frac { 1 } { 3 } } ;a ^ { -1 } $ Theo Viet bậc 4 ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} a+a ^ { \frac { 1 } { 3 } } +a ^ { -\frac { 1 } { 3 } } +a ^ { -1 } =\frac { a } { 16 } \\ a ^ { \frac { 4 } { 3 } } +a ^ { \frac { 2 } { 3 } } +1+1+a ^ { -\frac { 2 } { 3 } } +a ^ { -\frac { 4 } { 3 } } =\frac { 2a+17 } { 16 } \end{array} \right. $ Đặt $ t=a ^ { \frac { 1 } { 3 } } +a ^ { -\frac { 1 } { 3 } } ≥2 $ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} t ^ { 3 } -2t=\frac { a } { 16 } \\ t ^ { 4 } -3t ^ { 2 } +2=\frac { 2a+17 } { 16 } \end{array} \right.⇔\left ( { 2t-5 } \right )\left ( { 2t-3 } \right )\left ( { 4t ^ { 2 } -4t-1 } \right )=0⇔\left ( { 2t-5 } \right )\left ( { 2t-3 } \right )\left[ \left ( { 2t-1 } \right ) ^ { 2 } -2 \right]=0 \\ ⇔t=\frac { 5 } { 2 }⇒a=170 $ * Điều kiện đủ: Với a = 170 ta có: $ 16x ^ { 4 } -170x ^ { 3 } +357x ^ { 2 } -170x+16=0 $ Giải ra ta được $ x_{ 1 } =\frac { 1 } { 8 };x_{ 2 } =\frac { 1 } { 2 };x_{ 3 } =2;x_{ 4 } =8 $ Từ điều kiện cần và đủ suy ra a = 170