Trắc nghiệm · Câu 104
Cho tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $A$, biết độ dài cạnh đáy $BC$, đường cao $AH$ và cạnh bên $AB$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội $q$. Giá trị của $q^2$ bằng
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
C.
$\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$.
Lời giải
Lời giải
Đặt $BC = a$, $AB = AC = b$, $AH = h$. Theo giả thiết ta có $a, h, b$ lập thành cấp số nhân, suy ra $h^2 = ab$.
Mặt khác, tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $A$ nên:
$$
h^2 = m_a^2 = \frac{b^2 + b^2}{2} - \frac{a^2}{4} = b^2 - \frac{a^2}{4}
$$
Do đó:
$$
b^2 - \frac{a^2}{4} = ab \Leftrightarrow a^2 + 4ab - 4b^2 = 0 \Leftrightarrow a = \Big(2\sqrt{2} - 2\Big)b \quad (\text{vì } a, b > 0).
$$
Lại có $b = q^2 a$ nên suy ra:
$$
q^2 = \frac{b}{a} = \frac{1}{2\sqrt{2} - 2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2}.
$$