Trắc nghiệm · Câu 105
Cho dãy số xác định bởi $ u_{ 1 } =1 $, $ u_{ n+1 } =\frac { 1 } { 3 }\left ( { 2u_{ n } +\frac { n-1 } { n ^ { 2 } +3n+2 } } \right );{ \rm{ } }n∈\mathbb{N} ^ { * } $. Khi đó $ u_{ 2018 } $ bằng:
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$ u_{ 2018 } =\frac { 2 ^ { 2016 } } { 3 ^ { 2017 } }+\frac { 1 } { 2019 } $
Lời giải
Ta có: $ { \rm{ u } }_{ n+1 } =\frac { 1 } { 3 }\left ( { 2{ \rm{ u } }_{ n } +\frac { n-1 } { n ^ { 2 } +3n+2 } } \right ) =\frac { 1 } { 3 }\left ( { 2u_{ n } +\frac { 3 } { n+2 }-\frac { 2 } { n+1 } } \right ) =\frac { 2 } { 3 }u_{ n } +\frac { 1 } { n+2 }-\frac { 2 } { 3 }.\frac { 1 } { n+1 } $.
$ ⇔u_{ n+1 } -\frac { 1 } { n+2 }=\frac { 2 } { 3 }\left ( { u_{ n } -\frac { 1 } { n+1 } } \right ) $ $ \left ( { 1 } \right ) $
Đặt $ v_{ n } =u_{ n } -\frac { 1 } { n+1 } $, từ $ \left ( { 1 } \right ) $ta suy ra: $ v_{ n+1 } =\frac { 2 } { 3 }v_{ n } $.
Do đó $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ là cấp số nhân với $ v_{ 1 } =u_{ 1 } -\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 2 } $, công bội $ q=\frac { 2 } { 3 } $.
Suy ra: $ v_{ n } =v_{ 1 } .q ^ { n-1 } =\frac { 1 } { 2 }.\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { n-1 } ⇔u_{ n } -\frac { 1 } { n+1 }=\frac { 1 } { 2 }.\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { n-1 } $