Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ được xác định bởi $ u_{ 1 } =a $ và $ u_{ n+1 } =4u_{ n } \left ( { 1-u_{ n } } \right ) $ với mọi $ n $ nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị của $ a $ để $ u_{ 2018 } =0 $.

Do $ u_{ 2018 } =4u_{ 2017 } \left ( { 1-u_{ 2017 } } \right ) ⇒\left[ \begin{array}{l} u_{ 2017 } =0 \\ u_{ 2017 } =1 \end{array} \right. ⇒\left[ \begin{array}{l} u_{ 2016 } =0 \\ u_{ 2016 } =1 \end{array} \right. $.$ ⇒\left[ \begin{array}{l} u_{ 1 } =0 \\ u_{ 1 } =1 \end{array} \right. $ Trường hợp $ u_{ 1 } =u_{ 2 } =...=u_{ 2018 } =0 ⇒\left[ \begin{array}{l} a=0 \\ a=1 \end{array} \right. $ Xét phương trình $ 4x ^ { 2 } -4x+m=0 $ với $ 0 < m < 1 $ có $ Δ'=4-4m>0 $ nên phương trình luôn có $ 2 $ nghiệm phân biệt $ x_{ 1 } $, $ x_{ 2 } $ và $ x_{ 1 } +x_{ 2 } =1 $, $ x_{ 1 } x_{ 2 } =\frac { m } { 4 } ⇒x_{ 1 } ,x_{ 2 } ∈\left ( { 0;1 } \right ) $. Ta có $ u_{ 2 } =1 $ $ ⇒4u_{ 1 } -4u_{ 1 } ^{ 2 }=1 ⇔u_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 } ⇒ $ có $ 2 ^ { 0 } $ nghiệm $ u_{ 1 } $. $ u_{ 3 } =1 $ $ ⇒u_{ 2 } =\frac { 1 } { 2 } ⇒4u_{ 1 } ^{ 2 }-4u_{ 1 } +\frac { 1 } { 2 }=0 ⇒ $ có $ 2 ^ { 1 } $ nghiệm $ u_{ 1 } $. $ u_{ 4 } =1 $ $ ⇒u_{ 3 } =\frac { 1 } { 2 } ⇒4u_{ 2 } ^{ 2 }-4u_{ 2 } +\frac { 1 } { 2 }=0 $ có $ 2 $ nghiệm