(THPT Trần Phú - Vĩnh Phúc 2025) Trong không gian hệ trục tọa độ $ Oxyz $, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $,mỗi đơn vị trên trục ứng với 1km. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $ A\left ( { 222;565;8 } \right ) $ chuyển động theo đường thẳng $ d $có véc tơ chỉ phương $ u\left ( { 91;75;0 } \right ) $ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là $ M\left ( { a;b;c } \right ) $. Khi đó $ a+b+c $bằng bao nhiêu?

Vùng phủ sóng Rada được phát ra từ trạm kiểm soát là tập hợp những điểm cách tâm O(0;0;0) không quá 417km. Đây là những điểm nằm trên bề mặt và bên trong khối cầu có phương trình $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =417 ^ { 2 } ⇔x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =173889\,\,\left ( { * } \right ) $. Quỹ đạo chuyển động của máy bay là một đường thẳng có phương trình $ d:\left \{ \begin{array}{l} x=222-91t \\ y=565-75t \\ z=8 \end{array} \right.\left ( { t\in \mathbb{R} } \right ) $ Máy bay bắt đầu thuộc vùng kiểm soát của ra đa khi $ M\left ( { 222-91t;565-75t;8 } \right ) $ thỏa mãn (*) $ ⇒\left ( { 222-91t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 565-75t } \right ) ^ { 2 } +8 ^ { 2 } =173889 ⇔13906t ^ { 2 } -125154t+194684=0⇔\left[ \begin{array}{l} t=2 \\ t=7 \end{array} \right. $ $ t=2⇒M\left ( { 40;415;8 } \right )⇒AM ^ { 2 } =55624 \\ t=7⇒M\left ( { -415;40;8 } \right )⇒AM ^ { 2 } =681395 $ Vậy $ M\left ( { 40;415;8 } \right )⇒a+b+c=463 $.