(Sở Đà Nẵng 2025) Một radar phòng không được đặt tại vị trí gốc tọa độ $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $ trong không gian $ Oxyz $, mỗi đơn vị trên các trục tọa độ ứng với $ 1\,km $. Radar này có khả năng phát hiện các mục tiêu bay bán kính $ 250\,km $. Một máy bay không người lái (UAV) đang bay thẳng đều từ vị trí điểm $ A\left ( { 300;-400;100 } \right ) $ đến điểm $ B\left ( { -300;400;100 } \right ) $. UAV bay với vận tốc không đổi $ 900\,km/h $và mang thiết bị gây nhiễu chủ động có tầm hiệu quả $ 50\,km $tính từ UAV. Radar có thể theo dõi UAV trong khoảng thời gian hơn $ 30 $phút không? (tham khảo từ Stimson’s Introduction to Airborne Radar, 3rd Edition, George W. Stimson, Hugh D. Griffiths, Christopher Baker, Dave Adamy) (Hình ảnh minh họa radar tại gốc tọa độ O và đường bay của UAV từ A đến B)

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Radar không thể phát hiện UAV khi UAV ở vị trí $ A $. Đúng. b. Phương trình tham số của đường bay UAV là $ \left \{ \begin{array}{l} x=300-3t \ y=-400+4t \ z=0 \end{array} ight. $. Sai. c. Trong suốt quá trình bay, sẽ có thời điểm UAV gây nhiễu được radar. Sai. d. Radar có thể theo dõi UAV trong khoảng thời gian hơn $ 30 $phút. Đúng. Lời giải: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng a) Đúng. Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng phát hiện của ra đa là $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =62500 $. Ta có khoảng cách $ OA=\sqrt[] { 300 ^ { 2 } +\left ( { -400 } ight ) ^ { 2 } +100 ^ { 2 } }≈510>250 $. Do đó, Radar không thể phát hiện UAV khi UAV ở vị trí $ A $. b) Sai. Ta có $ \oversetightarrow { AB }=\left ( { -600;800;0 } ight )⇒\oversetightarrow { u }=\left ( { -3;4;0 } ight ) $ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ AB $. Phương trình tham số của đường bay UAV là $ \left \{ \begin{array}{l} x=300-3t \ y=-400+4t \ z=100 \end{array} ight. $. c) Sai. Gọi $ M $ là vị trí của UAV xác định tại thời điểm $ t $. Khi đó $ M\left ( { 300-3t;-400+4t;100 } ight ) $. Khoảng cách từ $ M $ đến radar là $ OM=\sqrt[] { \left ( { 300-3t } ight ) ^ { 2 } +\left ( { -400+4t } ight ) ^ { 2 } +100 ^ { 2 } }=\sqrt[] { 25t ^ { 2 } -5000t+260000 }=\sqrt[] { \left ( { 5t-500 } ight ) ^ { 2 } +10000 }\geq 100 $ Khoảng cách ngắn nhất từ UAV đến radar là $ 100>50 $ nên UAV không gây nhiễu được radar. d) Đúng. $ 30 $phút bằng $ 0,5 $ giờ. UAV nằm trong phạm vi của radar khi $ \,\,\,\,\,\,\,OM\leq 250 \ ⇔OM ^ { 2 } \leq 62500 $ $ ⇔25t ^ { 2 } -5000t+260000\leq 62500 \ ⇔25t ^ { 2 } -5000t+197500\leq 0 \ ≈54\leq t\leq 145 $ Với $ t≈54⇒M_{ 1 } \left ( { 138;-184;100 } ight ) $ Với $ t≈145⇒M_{ 2 } \left ( { -135;180;100 } ight ) $ Khoảng cách $ M_{ 1 } M_{ 2 } ≈455 $ UAV bay với vận tốc không đổi $ 900\,km/h $ nên UAV đi từ $ M_{ 1 } $ đến vị trí $ M_{ 2 } $ khoảng $ 0,51 $giờ. Do đó, Radar có thể theo dõi UAV trong khoảng thời gian hơn $ 30 $phút.

Cùng dạng: Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, mặt phẳng với mặt cầu