(THPT Lê Thánh Tông - HCM 2025) Một cơ sở sản xuất Kem làm một mô hình Kem ốc quế lớn gồm 2 phần: Phần Kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Chủ cơ sở sản xuất muốn gắn một chiếc đèn Led lớn chiếu thẳng cây kem vào buổi tối, biết rằng chiếc đèn nằm trên mặt phẳng chứa đường tròn $(C)$ là phần tiếp xúc giữa phần Kem và phần ốc quế. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian thỏa mãn phần Kem hình cầu có tâm $I(1; 2; 3)$, bán kính $R_{c} = 3$ và phần đỉnh của hình nón là điểm $H(0; 1; -2)$ đáy là đường tròn có bán kính $R_{N} = \sqrt{6}$. Để tối ưu hóa lượng ánh sáng chiếc đèn Led sẽ phải ở vị trí $M(a; b; 2), a \in \mathbb{Z}$ và từ điểm $M$ kẻ được 2 tiếp tuyến với đường tròn $(C)$ sao cho góc giữa 2 tiếp tuyến đó không bé hơn $60^{\circ}$. Có bao nhiêu vị trí đặt chiếc đèn Led thỏa mãn yêu cầu của chủ cơ sở.

Lời giải Gọi $A$ là tâm của đường tròn $(C)$. Ta có $\vec{IH} = (-1; -1; -5) \Rightarrow IH = \sqrt{(-1)^{2} + (-1)^{2} + (-5)^{2}} = 3\sqrt{3}$. Bán kính đường tròn giao tuyến $IA = \sqrt{R_{c}^{2} - R_{N}^{2}} = \sqrt{3^{2} - 6} = \sqrt{3}$. Ta có $\vec{IH} = 3\vec{IA} \Rightarrow A = (\frac{2}{3}; \frac{5}{3}; \frac{4}{3})$. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường tròn $(C)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = \vec{IH} = (-1; -1; -5)$, hay chọn $(1; 1; 5)$. Phương trình $(P): 1(x - \frac{2}{3}) + 1(y - \frac{5}{3}) + 5(z - \frac{4}{3}) = 0 \Leftrightarrow x + y + 5z - 9 = 0$. Vì $M(a; b; 2) \in (P) \Rightarrow a + b + 10 - 9 = 0 \Rightarrow b = -a - 1$. Từ $M$ kẻ 2 tiếp tuyến đến $(C) \Rightarrow AM > R_{N} = \sqrt{6}$. Điều kiện góc giữa 2 tiếp tuyến $\geq 60^{\circ} \Rightarrow \sin(\frac{\alpha}{2}) \geq \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{R_{N}}{AM} \geq \frac{1}{2} \Rightarrow AM \leq 2R_{N} = 2\sqrt{6}$. Giải bất phương trình $6 < AM^{2} \leq 24$ với $M(a; -a-1; 2)$ và $A(\frac{2}{3}; \frac{5}{3}; \frac{4}{3})$ sẽ tìm được các giá trị nguyên của $a$. Ta tìm được 6 giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn.