(THPT Trần Phú - Vĩnh Phúc 2025) Thiền viện Trúc Lâm tại núi Phượng Hoàng cách trung tâm thành phố Đà Lạt $ 5km $ về hướng nam, nằm ở độ cao khoảng $ 1600 $ mét so với mực nước biển. Đến thiền viện, từ trên đỉnh núi Phượng Hoàng phóng tầm mắt về phía đông nam, ta có thể chiêm ngưỡng thắng cảnh nổi tiếng được tạo bởi bàn tay con người là hồ Tuyền Lâm thơ mộng. Chọn hệ trục tọa độ $ Oxyz $, với gốc tại trung tâm thành phố Đà Lạt, các trục $ Ox $,$ Oy $ lần lượt chỉ các hướng Nam và Đông, biết mỗi đơn vị trên trục tọa độ ứng với $ 1km $ và trung tâm thành phố nằm ở độ cao $ 1500m $ so với mực nước biển. Khi đó

a) SAI. Diện tích hồ khoảng $ 360 $ ha, coi hồ như một hình tròn, bán kính hồ bằng $ 10,7km $. Ta có: $ 360\ { \rm{ ha } }=3,6\,km ^ { 2 } $ Do hồ là hình tròn bán kính $ R $ nên ta có: $ S=\pi .R ^ { 2 } =3,6 $ $ ⇒R=\sqrt[] { \frac { 3,6 } { \pi } }≈1,07km $ b) SAI. Biết hồ Tuyền Lâm ở độ cao khoảng $ 1000 $ mét so với mực nước biển. Một người đứng trên bờ tại điểm gần thiền viện nhất, cách trung tâm thành phố khoảng $ 7km $, người cách thiền viện khoảng $ 2,506km $. Gọi $ A\left ( { x_{ A } ;y_{ A } ;z_{ A } } \right ) $ là điểm biểu diễn cho thiền viện Trúc Lâm. Khi đó ta có: $ x_{ A } =5 $ ($ 5km $ về hướng Nam), $ y_{ A } =0 $ (không có vị trí Đông hoặc Tây). Độ cao thiền viện là $ 1600m $, độ cao trung tâm là 1500m, vậy độ cao tương đối là $ z_{ A } =1600-1500=100m=0,1{ \rm{   } }km $. Vậy tọa độ thiền viện phải là $ A(5;0\,;0,1) $. $ ⇒OA=5,001\,km $ Gọi $ M\left ( { x;y;z } \right ) $ là tọa độ của người đứng trên bờ hồ $ ⇒OM=7\,km $ Khoảng cách từ người đến thiền viện là $ AM $ Ta thấy $ AM\geq \left | { OA-OM } \right |≈7-5,001≈1,999 $ $ ⇒AM_{ \min } ≈1,999 $ khi $ O,M,A $ thẳng hàng. Vậy người đứng cách thiền viện gần nhất khoảng $ 1,999km $ c) SAI. Thiền viện Trúc Lâm có tọa độ là $ (5;0;1,6) $ Gọi $ A\left ( { x_{ A } ;y_{ A } ;z_{ A } } \right ) $ là điểm biểu diễn cho thiền viện Trúc Lâm. Khi đó ta có: $ x_{ A } =5 $ ($ 5km $ về hướng Nam), $ y_{ A } =0 $ (không có vị trí Đông hoặc Tây). Độ cao thiền viện là $ 1600m $, độ cao trung tâm là 1500m, vậy độ cao tương đối là $ z_{ A } =1600-1500=100m=0,1{ \rm{   } }km $. Vậy tọa độ thiền viện phải là $ A(5;0\,;0,1) $. d) ĐÚNG. Ở thiền viện có tháp chuông vang xa tầm $ 7,2km $. Lúc đánh chuông người trên thuyền ở giữa hồ nghe được tiếng chuông. Gọi $ M\left ( { x;y;z } \right ) $ là tọa độ của người trên thuyền Độ cao trung tâm là 1500m, vậy độ cao tương đối là $ z_{ M } =1000-1500=-500m=-0,5{ \rm{   } }km $. $ ⇒M\left ( { x;y;-0,5 } \right ) $ - Ranh giới tiếng chuông là mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ tâm $ A $ bán kính $ R=7,2 $ có phương trình: $ \left ( { x-5 } \right ) ^ { 2 } +y ^ { 2 } +\left ( { z-0,1 } \right ) ^ { 2 } =7,2 ^ { 2 } =51,84 $ Khoảng cách từ người đến thiền viện là $ AM ^ { 2 } =\left ( { x_{ M } -5 } \right ) ^ { 2 } +y_{ M } ^ { 2 } +0,6 ^ { 2 } $ Giả sử người trên thuyền nghe được tiếng chuông $ ⇒M\in \left ( { S } \right ) $$ ⇒\left ( { x_{ M } -5 } \right ) ^ { 2 } +y_{ M } ^ { 2 } +\left ( { z_{ M } -0,1 } \right ) ^ { 2 } =51,84 $ $ ⇒\left ( { x_{ M } -5 } \right ) ^ { 2 } +y_{ M } ^ { 2 } =51,84-\left ( { z_{ M } -0,1 } \right ) ^ { 2 } =-z_{ M } ^ { 2 } +0,2z_{ M } +51,83 $ $ ⇒AM ^ { 2 } =-z_{ M } ^ { 2 } +0,2z_{ M } +52,19 $ Xét $ f\left ( { z_{ M } } \right )=-z_{ M } ^ { 2 } +0,2z_{ M } +52,19 $ có dạng là một parabol $ ⇒ $Hàm số đạt lớn nhất là $ f\left ( { z_{ M } } \right )=52,2 $ khi $ z_{ M } =0,1 $ $ ⇒AM_{ \max } =\sqrt[] { 52,2 }≈7,225\,km $ Vậy khoảng cách xa nhất từ người đến thiền viện là $ AM≈7,225\,km $ Tuy nhiên do Hồ có bán kính $ R≈1,07km $ nên nếu thuyền ở giữa hồ có thể nghe được tiếng chuông.