(THPT Lê Thánh Tông - Nguyễn Khuyến 2025) Nguồn sáng phát ra từ một cây đèn pin khi chiếu vào một quả cầu phản quang sẽ cho ta hình ảnh của một mặt cầu tiếp xúc với các đường sinh của một hình nón (xem hình vẽ). Giả sử nguồn sáng phát ra từ điểm $ M $, trong một hệ trục tọa độ $ Oxyz $ cho sẵn với đơn vị trên mỗi trục là mét, các tiếp tuyến $ MA,{ \rm{ } }MB,{ \rm{ } }MC $ thỏa mãn $ \widehat { AMB }=60° $, $ \widehat { BMC }=90° $,$ \widehat { CMA }=120° $. Mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có phương trình $ x²+y²+z²-2x-4y+6z-13=0 $. (Hình vẽ: mô tả một quả cầu nằm giữa đèn pin và màn chắn, với các đường tiếp tuyến $ MA,{ \rm{ } }MB,{ \rm{ } }MC $).

a) Đúng. Ta có: $ x²+y²+z²-2x-4y+6z-13=0⇔\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z+3 } \right ) ^ { 2 } =27 $. Vậy mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có tâm $ I\left ( { 1;2;-3 } \right ) $ và bán kính $ R=\sqrt[] { 27 }=3\sqrt[] { 3 } $. b) Đúng. Ta có tam giác $ MAB $ cân tại $ M $ và có $ \widehat { AMB }=60° $ và nên tam giác $ MAB $ là tam giác đều cạnh bằng $ AB=MA=MB=x $. Vậy$ AB=x $. * Tam giác $ MBC $ cân tại $ M $ và có.$ \widehat { BMC }=90° $. nên tam giác $ MBC $ là tam giác vuông cân tại $ M $ suy ra $ BC=MB\sqrt[] { 2 }=x\sqrt[] { 2 } $ Vậy $ BC=x\sqrt[] { 2 } $. * Tam giác $ MAC $ cân tại $ M $ có $ \widehat { CMA }=120° $ có $ AC ^ { 2 } =MA ^ { 2 } +MC ^ { 2 } -2⋅MA⋅MC⋅\cos\left ( { 120° } \right )=x ^ { 2 } +x ^ { 2 } -2x.x⋅\left ( { \frac { -1 } { 2 } } \right )=3x ^ { 2 } ⇔AC=x\sqrt[] { 3 } $. Vậy $ AC=x\sqrt[] { 3 } $. c) Sai. Tam giác $ ABC $ có các cạnh $ AB=x,AC=x\sqrt[] { 3 },BC=x\sqrt[] { 2 } $ nên tam giác $ ABC $ không phải là một tam giác cân. d) Đúng. Ta có tam giác $ ABC $ có $ AC ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } $ nên tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $ và $ AC $ chính là đường kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ với mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $. Khi đó gọi $ K $ là trung điểm $ AC $ ta có 3 điểm $ M,K,I $ thẳng hàng Xét tam giác $ MAI $ vuông tại $ A $ có $ \sin60°=\frac { R } { MI }⇒MI=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { \sin60° }=6 $. Mặt khác $ \overset\rightarrow { OI }=\left ( { 1;2;-3 } \right )⇒OI=\sqrt[] { 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +\left ( { -3 } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 14 } < IM $. Ta có: $ MO+OI\geq MI⇒MO\geq MI-OI⇔MO\geq 6-\sqrt[] { 14 }≈2,26 $ Đẳng thức xảy ra khi khi 3 điểm $ M,O,I $ thẳng hàng.