(Sở Bình Phước 2025) Trong không gian với hệ trục Oxyz, giả sử mặt đất trùng với mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $. Một bóng đèn trang trí dạng khối cầu có tâm $ I\left ( { -1;2;4 } \right ) $ và bán kính $ R $ được treo cố định lên trần nhà (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $ m $). Một con kiến bò tùy ý trên bóng đèn và một con kiến khác bò tùy ý trên mặt đất, giả sử vectơ tạo bởi tọa độ vị trí của 2 con kiến luôn cùng phương với đường thẳng $ Δ:\,\frac { x } { 1 }=\frac { y+1 } { 2 }=\frac { z-2 } { 2 } $(coi mỗi con kiến là một điểm). Biết lúc 2 con kiến gần nhau nhất có khoảng cách bằng $ \frac { 57 } { 10 }(m) $. Bán khối cầu có độ dài bao nhiêu $ cm $.

+ Gọi $ \alpha $ là góc tạo bởi $ Δ $ và mặt $ \left ( { Oxy } \right ) $ suy ra: $ \sin\alpha =\frac { 2 } { 3 } $. Gọi H là hình chiếu của I lên $ \left ( { Oxy } \right ) $, gọi $ K_{ 2 } $ là giao điểm của $ \left ( { IH } \right ) $ và khối cầu $ \left ( { I,R } \right ) $. $ K_{ 1 } $ là giao điểm của đường thẳng qua $ K_{ 2 } $ và song song $ Δ $ với $ \left ( { Oxy } \right ) $. Vì $ K_{ 2 } H $ là độ dài ngắn nhất giữa khối cầu $ \left ( { I,R } \right ) $ và $ \left ( { Oxy } \right ) $ nên lúc 2 con kiến gần nhau nhất thì một con ở $ K_{ 2 } $ và một con ở $ K_{ 1 } $. + Theo giả thiết: $ K_{ 1 } K_{ 2 } =\frac { 57 } { 10 } $, suy ra: $ K_{ 2 } H=\frac { 19 } { 5 } $. Vậy $ R=4-\frac { 19 } { 5 }=\frac { 1 } { 5 }=0,2\left ( { m } \right )=20\left ( { cm } \right ) $