(THPT Lê Thánh Tông - HCM 2025) Trong không gian $ Oxyz $, cho mặt cầu $ \left ( { S } \right ):\,x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x-2z-38=0 $ và hai mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ):\,x+2y-4=0;\,\,\left ( { \beta } \right ):\,\,3y+z-5=0 $. Xét mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ thay đổi, song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ),\,\left ( { \beta } \right ) $ và tiếp xúc với mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $. Khảng cách lớn nhất từ điểm $ A\left ( { 5;-5;6 } \right ) $ đến mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ bằng bao nhiêu. (làm tròn đến hàng phần mười)

Mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có tâm $ I\left ( { 1;0;1 } \right ) $ và bán kính $ R=2\sqrt[] { 10 } $ Mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ),\,\left ( { \beta } \right ) $ có véc tơ pháp tuyến lần lượt là: $ \overset\rightarrow { n_{ \alpha } }\left ( { 1;2;0 } \right ),\,\overset\rightarrow { n_{ \beta } }\left ( { 0;3;1 } \right ) $ Giả sử $ Δ=\left ( { \alpha } \right )∩\left ( { \beta } \right )⇒\overset\rightarrow { u_{ Δ } }=\left[ \overset\rightarrow { n_{ \alpha } },\overset\rightarrow { n_{ \beta } } \right]=\left ( { 2;-1;3 } \right ) $ Gọi $ d $ là đường thẳng qua $ I(1;\,0;\,1) $ và song song với $ Δ $. Suy ra $ d:\,\left \{ \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=-t \\ z=1+3t \end{array} \right. $. Gọi $ (H) $ là mặt trụ có trục $ d $ và bán kính $ R=2\sqrt[] { 10 } $; $ (Q) $ là mặt phẳng qua $ A $ vuông góc với $ d $ cắt $ (H) $theo thiết diện là đường tròn $ (C) $. Khi đó $ (P) $ tiếp xúc với $ (C) $ $ d\left ( { A,\left ( { P } \right ) } \right )=d(A,\,d)+R=\sqrt[] { 10 }+2\sqrt[] { 10 }=3\sqrt[] { 10 } $ Vậy khoảng cách lớn nhất từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ bằng $ 3\sqrt[] { 10 }≈9,5 $.