Cho một cái bánh có dạng hình chóp đáy là hình vuông (minh họa như hình vẽ) Giả sử đỉnh của bánh là $ S $ đáy là hình vuông $ ABCD $ cạnh $ 5 $ cm, tâm $ O $ thỏa $ SB=SD $. Gọi $ M $điểm tùy ý trên đoạn $ AO $ với $ AM=x,\,\,\left ( { x>0 } \right ) $. Người ta cắt cái bánh bằng dao với mặt cắt là mặt phẳng $ \left ( { α } \right ) $ thỏa $ \left ( { α } \right ) $qua $ M $song song với $ SA $ và $ BD $ cắt $ SO, SB, AB $ lần lượt tại $ N, P, Q $. Cho $ SA=5 $ cm. Tìm $ x $ để diện tích $ MNPQ $đó lớn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Ta có:$ SB=SD⇒ΔSBC=ΔSDC\,\,\left ( { c.c.c } \right )⇒ \widehat { SCB }= \widehat { SCD } $. Gọi $ I $là trung điểm $ SC $thì $ ΔIBC=ΔIDC\,\,\left ( { c.g.c } \right )⇒IB=ID $. Vậy $ ΔIBD $ cân tại $ I⇒IO⊥BD $. Mà $ OI{ \rm{ // } }SA⇒SA⊥BD\,\,(*) $ Ta có:$ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { α } \right ){ \rm{ // } }BD \\ BD⊂\left ( { ABO } \right ) \\ \left ( { α } \right )∩\left ( { ABO } \right )=MQ \end{array} \right.⇒MQ{ \rm{ // } }BD $ (1) Tương tự:$ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { α } \right ){ \rm{ // } }BD \\ BD⊂\left ( { SBO } \right ) \\ \left ( { α } \right )∩\left ( { SBO } \right )=NP \end{array} \right.⇒NP{ \rm{ // } }BD $ (2) Từ (1) và (2) suy ra $ MQ{ \rm{ // } }NP{ \rm{ // } }BD $ (3) Ta có: Mà $ SA⊥BD $ (theo (*)) và $ MQ{ \rm{ // } }BD,\,\,MN{ \rm{ // } }SA $ nên $ MQ⊥MN $, suy ra $ MNPQ $ là hình chữ nhật. Đặt $ AO=a=\frac { 5\sqrt{2} } { 2 } $ (nửa đường chéo hình vuông cạnh $ 5 $), khi đó $ MQ=x $ và $ MN=SA\left ( { 1-\frac { x } { a } } \right )=5\left ( { 1-\frac { x } { a } } \right ) $. Diện tích $ S_{ MNPQ } =MQ.MN=5x\left ( { 1-\frac { x } { a } } \right )=5x-\frac { 5 } { a }x ^ { 2 } $. Xét hàm số trên, ta có $ S'(x)=5-\frac { 10 } { a }x=0⇔x=\frac { a } { 2 }=\frac { 5\sqrt{2} } { 4 }≈1,8 $, và đây là giá trị làm $ S_{ MNPQ } $ đạt giá trị lớn nhất trên khoảng $ \left ( { 0;a } \right ) $. Vậy $ x≈1,8 $.