Cho tứ diện đều $ABCD$. Lấy điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $BM = \frac{1}{2}MC$. Mặt phẳng $(P)$ qua $M$ song song với $AB$ và $CD$ đồng thời cắt $BD$ tại $N$ và cắt $AC$ tại $P$. Tính tỉ số $\frac{MN}{MP}$.

Lời giải Do gộp các điều kiện định hướng giao tuyến: $$ \begin{cases} (P) \cap (ABC) = MP \\ (P) \parallel AB \\ (ABC) \supset AB \end{cases} \Rightarrow MP \parallel AB $$ Chứng minh tương tự, ta cũng có $MN \parallel CD$. Xét tam giác $BCD$ có $MN \parallel CD$, theo định lý Thales: $$ \frac{BM}{BC} = \frac{MN}{CD} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{1}{3}CD $$ Xét tam giác $ABC$ có $MP \parallel AB$, theo định lý Thales: $$ \frac{CM}{BC} = \frac{MP}{AB} = \frac{2}{3} \Rightarrow MP = \frac{2}{3}AB $$ Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên $AB = CD$. Khi đó tỉ số cần tìm là: $$ \frac{MN}{MP} = \frac{\frac{1}{3}CD}{\frac{2}{3}AB} = \frac{1}{2} = 0,5 $$ Vậy $\frac{MN}{MP} = 0,5$.