Cho tứ diện $ ABCD $ và điểm $ M $ là trung điểm $ AB $. Gọi $ \left ( { α } \right ) $ là mặt phẳng qua $ M $, song song với hai đường thẳng $ BC $ và $ AD $. Gọi $ N,P,Q $ lần lượt là giao diểm của mặt phẳng $ \left ( { α } \right ) $ với các cạnh $ AC,CD $ và $ DB $. Biết khi $ AD=kBC $ thì $ MNPQ $ là hình thoi. Hãy xác định giá trị của $ k,\,\left ( { k∈\mathbb{R},\,k>0 } \right ) $.

Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { MNPQ } \right )∩\left ( { ABC } \right )=MN \\ BC{ \rm{ // } }\left ( { MNPQ } \right ) \end{array} \right.⇒MN{ \rm{ // } }BC $ Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { MNPQ } \right )∩\left ( { BCD } \right )=PQ \\ BC{ \rm{ // } }\left ( { MNPQ } \right ) \end{array} \right.⇒BC{ \rm{ // } }PQ $ Vậy $ MN{ \rm{ // } }PQ $. Chứng minh tương tự ta có: $ NP{ \rm{ // } }MQ $. Vậy $ MNPQ $ là hình bình hành. Để hình bình hành $ MNPQ $ là hình thoi thì ta cần $ MQ=PQ $. Để $ MQ=PQ⇒\frac { 1 } { 2 }AD=\frac { 1 } { 2 }BC⇒AD=1.BC $.