Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với $AD \parallel BC$ và $AD = \frac{3}{2}BC$. Gọi $I$ là trung điểm của $SB$ và $(P)$ là mặt phẳng qua $I$, song song với $SD, AC$. Giao tuyến của $(P)$ và $(ABCD)$ cắt cạnh $AD$ tại $E$. Biết $\frac{AE}{AD} = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính $m + n$.

Lời giải * Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và $(SBD)$: $$ \begin{cases} I \in (P) \cap (SBD) \\ (P) \parallel SD \\ SD \subset (SBD) \end{cases} \Rightarrow (P) \cap (SBD) = Ix \parallel SD $$ Trong mặt phẳng $(SBD)$, gọi $K = Ix \cap BD \Rightarrow (P) \cap (SBD) = IK$. Do $I$ là trung điểm của $SB$ nên $K$ là trung điểm của $BD$. * Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và $(ABCD)$: $$ \begin{cases} K \in (P) \cap (ABCD) \\ (P) \parallel AC \\ AC \subset (ABCD) \end{cases} \Rightarrow (P) \cap (ABCD) = Ky \parallel AC $$ Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $E = Ky \cap AD$ và $F = Ky \cap CD \Rightarrow (P) \cap (ABCD) = EF$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $AD \parallel BC$ nên hai tam giác $OAD$ và $OCB$ đồng dạng, suy ra: $$ \frac{OD}{OB} = \frac{AD}{BC} = \frac{3}{2} \Rightarrow DO = \frac{3}{5}DB $$ Mà $K$ là trung điểm $BD$ nên $DK = \frac{1}{2}DB$. Từ đó ta có: $$ DK = \frac{5}{6}DO $$ Trong tam giác $OAD$, có $KE \parallel OA$ (do $Ky \parallel AC$), áp dụng định lý Thales: $$ \frac{AE}{AD} = \frac{OK}{OD} = \frac{1}{6} $$ Vì $\frac{1}{6}$ là phân số tối giản nên $m = 1, n = 6$. Vậy $m + n = 1 + 6 = 7$.