Cho tứ diện $ABCD$ có $AD = 9\text{ cm}, CB = 6\text{ cm}$. $M$ là điểm bất kì trên cạnh $CD$. $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AD, BC$ và cắt tứ diện tạo bởi thiết diện là hình thoi có cạnh $x\text{ (cm)}$. Tính $x$?

Lời giải Ta có: $$ \begin{cases} AD \parallel (P) \\ AD \subset (ACD) \\ M \in (P) \cap (ACD) \\ (P) \cap (ACD) = \Delta_1 \end{cases} \Rightarrow \Delta_1 \parallel AD $$ Do đó $\Delta_1$ là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $AD$. Gọi $Q = \Delta_1 \cap AC$. Tương tự: $$ \begin{cases} BC \parallel (P) \\ BC \subset (ABC) \\ Q \in (P) \cap (ABC) \\ (P) \cap (ABC) = \Delta_2 \end{cases} \Rightarrow \Delta_2 \parallel BC $$ Do đó $\Delta_2$ là đường thẳng đi qua $Q$ và song song với $BC$. Gọi $P = \Delta_2 \cap AB$. $$ \begin{cases} AD \parallel (P) \\ AD \subset (ABD) \\ P \in (P) \cap (ABD) \\ (P) \cap (ABD) = \Delta_3 \end{cases} \Rightarrow \Delta_3 \parallel AD $$ Do đó $\Delta_3$ là đường thẳng đi qua $P$ và song song với $AD$. Gọi $N = \Delta_3 \cap BD$. Khi đó, thiết diện là hình bình hành $MNPQ$ (vì $MN \parallel PQ \parallel BC$ và $MQ \parallel NP \parallel AD$). Theo định lý Thales, ta có: $$ \frac{MN}{BC} = \frac{DN}{BD} \Leftrightarrow \frac{MN}{6} = \frac{DN}{DB} $$ Đặt $\dfrac{DM}{DC}=t$ $(0<t<1)$. Do $MN\parallel BC$ nên $\dfrac{DN}{DB}=\dfrac{DM}{DC}=t$, suy ra $MN=6t$. Tương tự, do $MQ\parallel AD$ trong tam giác $ACD$ nên $\dfrac{MQ}{AD}=\dfrac{CM}{CD}=1-t$, suy ra $MQ=9(1-t)$. Vì $MNPQ$ là hình thoi nên $MN=MQ$, tức là $6t=9(1-t)\Leftrightarrow 15t=9\Leftrightarrow t=0,6$. Vậy $x=MN=6t=6.0,6=3,6$ (cm).