Cho tứ diện đều $ABCD$. Lấy điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $BM = \frac{1}{2}MC$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ song song với $AB$ và $CD$ đồng thời cắt $BD$ tại $N$ và cắt $AC$ tại $P$. Khi đó:

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. $\left( MNP ight) \cap \left( ABC ight) = MN$; Sai. b. $(\alpha) \cap \left( BCD ight) = MN$; Đúng. c. Giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $AB$ Sai. d. Tam giác MNP có $MN = \frac{1}{3}MP$. Sai. Lời giải: a) Sai. Dễ thấy $\left( MNP ight) \cap \left( ABC ight) = MP$. b) Đúng. Vì $(\alpha) \parallel CD$ nên giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với mặt phẳng $(BCD)$ là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $CD$ và cắt $BD$ tại $N$. c) Sai. Ta có $\left\{ \begin{array}{l} (\alpha) \cap (ABD) = N \ MP \subset (\alpha) \ AB \subset (ABD) \ MP \parallel AB \end{array} ight. \Rightarrow (\alpha) \cap (ABD) = Nx$ với $Nx \parallel AB \parallel MP$. Khi đó, giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng đi qua $N$ và song song với $AB$. d) Sai. Xét $\Delta BCD$ có $MN \parallel CD \Rightarrow \frac{BM}{BC} = \frac{MN}{CD} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{1}{3}CD$. Xét $\Delta ABC$ có $MP \parallel AB \Rightarrow \frac{CM}{BC} = \frac{MP}{AB} = \frac{2}{3} \Rightarrow MP = \frac{2}{3}AB$. Khi đó $\frac{MN}{MP} = \frac{\frac{1}{3}CD}{\frac{2}{3}AB} = \frac{1}{2} \Rightarrow MN = \frac{1}{2}MP$.

Cho tứ diện đều $ABCD$. Lấy điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $BM = \frac{1}{2}MC$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ song song với $AB$ và $CD$ đồng thời cắt $BD$ tại $N$ và cắt $AC$ tại $P$. Khi đó:

Cùng dạng: Bài toán thiết diện trong hình chóp, lăng trụ liên quan đến đường thẳng song song mặt phẳng