Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=30\,\text{cm}$, $AD=60\,\text{cm}$; cạnh bên $SA=30\,\text{cm}$ và vuông góc với đáy $\left(ABCD\right)$. Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left(SBD\right)$ bằng bao nhiêu centimét?

Lời giải Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Khi đó $O$ là giao điểm của $AC$ và $\left(SBD\right)$, lại có $O$ là trung điểm của $AC$ nên $d\left(C,\left(SBD\right)\right) = d\left(A,\left(SBD\right)\right)$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BD$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SK$. Ta có $AB$, $AD$ và $AS$ đôi một vuông góc nên: $$ \frac{1}{d^{2}\left(A,\left(SBD\right)\right)} = \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AD^{2}} + \frac{1}{AS^{2}} = \frac{1}{30^{2}} + \frac{1}{60^{2}} + \frac{1}{30^{2}} = \frac{1}{400} $$ Suy ra $d\left(A,\left(SBD\right)\right) = 20\,\text{cm}$. Vậy khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left(SBD\right)$ bằng $20\,\text{cm}$.