Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại A với $AB=AC=3\sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của $B'$ lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho $HC=2HB$. Biết cạnh bên của lăng trụ bằng $2\sqrt{3}$. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng $\left(B'AC\right)$ bằng

Lời giải Ta có $BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{27 + 27} = 3\sqrt{6} \Rightarrow HB = \frac{1}{3}BC = \sqrt{6}$. Lại có $B'H = \sqrt{BB'^{2} - HB^{2}} = \sqrt{12 - 6} = \sqrt{6}$. Dựng $HE \perp AC$ ($E \in AC$); $HF \perp B'E$ ($F \in B'E$). Suy ra $HF \perp \left(B'AC\right) \Rightarrow d\left(H,\left(B'AC\right)\right) = HF$. Ta có $\frac{HE}{AB} = \frac{CH}{BC} = \frac{2}{3} \Rightarrow HE = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. Suy ra $\frac{1}{HF^{2}} = \frac{1}{HE^{2}} + \frac{1}{B'H^{2}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{4} \Rightarrow HF = 2$. Mặt khác $\frac{d\left(B,\left(B'AC\right)\right)}{d\left(H,\left(B'AC\right)\right)} = \frac{BC}{HC} = \frac{3}{2}$. Do đó $d\left(B,\left(B'AC\right)\right) = \frac{3}{2}HF = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.