Cho bốn hàm số $f(x) = 6x - 5$, $g(x) = x^{2} + 2x + 3$, $h(x) = \sqrt{x - 3}$ và $k(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$.

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Lời giải a) Đúng. Với $x_{0}$ bất kỳ, ta có: $$ f'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{(6x - 5) - (6x_{0} - 5)}{x - x_{0}} $$ $$ = \lim_{x \to x_{0}} \frac{6(x - x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} 6 = 6 $$ b) Sai. Ta có: $$ \lim_{x \to 1} \frac{g(x) - g(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 2x - 3}{x - 1} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 3) = 4 $$ Vậy $g'(1) = 4$. c) Đúng. Ta có: $$ \lim_{x \to 4} \frac{h(x) - h(4)}{x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x - 3} - 1}{x - 4} $$ $$ = \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x - 3} + 1)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x - 3} + 1} = \frac{1}{2} $$ Vậy $h'(4) = \frac{1}{2}$. d) Đúng. Với $x_{0} \neq -1$ ta có: $$ k'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{k(x) - k(x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{\frac{2x - 1}{x + 1} - \frac{2x_{0} - 1}{x_{0} + 1}}{x - x_{0}} $$ $$ = \lim_{x \to x_{0}} \frac{\frac{(2x-1)(x_{0}+1)-(2x_{0}-1)(x+1)}{(x+1)(x_{0}+1)}}{x - x_{0}} $$ $$ = \lim_{x \to x_{0}} \frac{3(x - x_{0})}{(x+1)(x_{0}+1)(x - x_{0})} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{3}{(x+1)(x_{0}+1)} = \frac{3}{(x_{0}+1)^{2}} $$ Vậy $k'(x) = \frac{3}{(x + 1)^{2}}$, với $x \neq -1$.