Trắc nghiệm · Câu 14
Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{2025-\sqrt{1-x}}{2024} & \text{khi } x \neq 0 \\ 1 & \text{khi } x = 0 \end{cases}$. Tính $f'(0)$.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
B.
$f'(0) = \frac{1}{4048}$.
Lời giải
Lời giải
Chọn B.
Xét giới hạn tỉ số theo định nghĩa đạo hàm tại $x = 0$:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2025-\sqrt{1-x}}{2024}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{1-x}}{2024x}
$$
Nhân liên hợp cả tử và mẫu với $\Big(1+\sqrt{1-x}\Big)$, ta được:
$$
= \lim_{x \to 0} \frac{\Big(1-\sqrt{1-x}\Big)\Big(1+\sqrt{1-x}\Big)}{2024x\Big(1+\sqrt{1-x}\Big)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2024x\Big(1+\sqrt{1-x}\Big)}
$$
$$
= \lim_{x \to 0} \frac{1}{2024\Big(1+\sqrt{1-x}\Big)} = \frac{1}{2024 \cdot 2} = \frac{1}{4048}
$$
Vậy $f'(0) = \frac{1}{4048}$.