Xác suất để công ty $ X $ thuê một trong hai công ty vệ tinh $ A $ và $ B $ tư vấn lần lượt là $ 0,4 $ và $ 0,6 $. Theo kinh nghiệm khả năng $ X $ phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn của công ty $ A $ và $ B $ lần lượt là $ 0,05 $ và $ 0,03 $.

a) Đúng. Xét các biến cố: $ M $: “Công ty $ X $ thuê công ty vệ tinh $ A $ tư vấn”; $ N $: “Công ty $ X $ có phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn”. Ta có $ 0,4+0,6=1 $, do đó $\overline{M}$ là biến cố: “Công ty $ X $ thuê công ty vệ tinh $ B $ tư vấn”. Theo bài ra, ta có: $ P\left ( { M } \right )=0,4 $; $ P(\overline{M})=0,6 $; $ P\left ( { N|M } \right )=0,05 $; $ P(N|\overline{M})=0,03 $. Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: $ P(N) = P(M) \cdot P(N|M) + P(\overline{M}) \cdot P(N|\overline{M}) = 0,4 \cdot 0,05 + 0,6 \cdot 0,03 = 0,038 $. Vậy xác suất để $ X $ có phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn là $ 0,038 $. b) Sai. Theo công thức Bayes, ta có $ P\left ( { M|N } \right )=\frac { P\left ( { M } \right )⋅P\left ( { N|M } \right ) } { P\left ( { N } \right ) }=\frac { 0,4⋅0,05 } { 0,038 }≈0,5263 $. Vậy khi biết $ X $ có phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn thì xác suất để $ X $ thuê công ty $ A $ tư vấn khoảng $ 0,5263 $. c) Sai. Tương tự ý b), ta có $ P(\overline{M}|N) = \frac{0,6 \cdot 0,03}{0,038} \approx 0,4737 $. Vậy khi biết $ X $ có phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn thì xác suất để $ X $ thuê công ty $ B $ tư vấn khoảng $ 0,4737 $. Cách khác: Ta có thể sử dụng công thức $ P(M|N) + P(\overline{M}|N) = 1 $. Suy ra $ P(\overline{M}|N) = 1 - 0,5263 = 0,4737 $. d) Đúng. Có $\overline{N}$ là biến cố: “Công ty $ X $ không phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn”. Khi đó, $ P(\overline{N}) = 1 - P(N) = 1 - 0,038 = 0,962 $. Ta cũng có $ P(\overline{N}|M) = 1 - P(N|M) = 1 - 0,05 = 0,95 $. Áp dụng công thức Bayes, ta có: $ P(M|\overline{N}) = \frac{P(M) \cdot P(\overline{N}|M)}{P(\overline{N})} = \frac{0,4 \cdot 0,95}{0,962} \approx 0,395 $.