Cho hình chóp tứ giác $ S.ABCD $ có đáy là hình chữ nhật, $ O $là tâm đáy. Biết cạnh $ AB=3a $, $ AD=2a $và các cạnh bên đều có độ dài $ a\sqrt[] { 10 }. $ Góc nhị diện $ \left[ S,BC,O \right] $ bằng bao nhiêu độ?

Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Xét tam giác $ SMC $ vuông tại $ M $ ta có: $ SM=\sqrt[] { SC ^ { 2 } -MC ^ { 2 } } =\sqrt[] { \left ( { a\sqrt[] { 10 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { a } \right ) ^ { 2 } } =3a. $ Vì $ SA=SB=SC=SD=a\sqrt[] { 10 } $ nên $ SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Ta có: $ \left ( { SBC } \right )∩\left ( { ABCD } \right )=BC $, $ SM⊥BC $, $ OM⊥BC $, suy ra góc $ \left[ S,BC,O \right] $bằng $ \widehat { SMO } $. Xét tam giác $ SOM $ vuông tại $ O $, ta có: $ \cos \widehat { SMO }=\frac { OM } { SM } =\frac { \frac { 3a } { 2 } } { 3a } =\frac { 1 } { 2 } ⇒ \widehat { SMO }=60° $.