Cho hình chóp tứ giác $ S.ABCD $ có đáy là hình chữ nhật với $ AB=2,AD=4. $ Các cạnh bên đều có độ dài bằng $ 5. $ Số đo góc nhị diện $ \left[ S,AB,C \right] $bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)?

Gọi $ O $ là tâm của mặt phẳng đáy. Kẻ $ OH⊥AB \begin{array}{ll} & (H∈AB) \\ \end{array} $ Vì $ ΔSAC $ cân tại $ S $ nên $ SO⊥AC $. Vì $ ΔSBD $ cân tại $ S $ nên $ SO⊥BD $. Suy ra $ SO⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SO⊥AB $. Mà $ OH⊥AB $ nên $ \widehat { SHO } $ là góc nhị diện $ \left[ S,AB,C \right] $. Ta có $ S_{ ABCD } =AB⋅AD=2⋅4=8 $. $ S_{ OAB } =\frac { 1 } { 4 }S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 4 }⋅8=2 $. Mà $ S_{ OAB } =\frac { 1 } { 2 }AB⋅OH⇒OH=\frac { 2S_{ OAB } } { AB }=\frac { 2⋅2 } { 2 }=2 $. Ta có $ AC=\sqrt[] { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } }=\sqrt[] { 2 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } }=\sqrt[] { 20 }=2\sqrt[] { 5 }⇒OC=\frac { 1 } { 2 }AC=\frac { 1 } { 2 }⋅2\sqrt[] { 5 }=\sqrt[] { 5 } $. $ SO=\sqrt[] { SC ^ { 2 } -OC ^ { 2 } }=\sqrt[] { 5 ^ { 2 } -\left ( { \sqrt[] { 5 } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 20 }=2\sqrt[] { 5 } $. Ta có $ \tan \widehat { SHO }=\frac { SO } { OH }=\frac { 2\sqrt[] { 5 } } { 2 }=\sqrt[] { 5 }⇒ \widehat { SHO }≈66° $.