Cho tam giác $ ABC $ thỏa mãn $ \frac { a ^ { 3 } +c ^ { 3 } -b ^ { 3 } } { a+c-b }=b ^ { 2 } $ và $ sinA.sinC=\frac { 3 } { 4 } $. Tìm số đo góc $ C $?

Ta có $ \frac { a ^ { 3 } +c ^ { 3 } -b ^ { 3 } } { a+c-b }=b ^ { 2 } \ ⇔a ^ { 3 } +c ^ { 3 } -b ^ { 3 } =(a+c)b ^ { 2 } -b ^ { 3 } \ ⇔a ^ { 3 } +c ^ { 3 } =(a+c)b ^ { 2 } \ ⇔a ^ { 2 } -ac+c ^ { 2 } =b ^ { 2 } \ ⇔a ^ { 2 } -ac+c ^ { 2 } =a ^ { 2 } +c ^ { 2 } -2accosB \ ⇔cosB=\frac { 1 } { 2 }⇒B=60°. $ Do đó $ sinB=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }⇒\sin ^ { 2 } B=\frac { 3 } { 4 } $ Lại có $ sinA.sinC=\frac { 3 } { 4 }=\sin ^ { 2 } B⇒\frac { a } { 2R }⋅\frac { c } { 2R }=\left ( { \frac { b } { 2R } } \right ) ^ { 2 } $ $ ⇒ac=b ^ { 2 } ⇒ac=a ^ { 2 } +c ^ { 2 } -2accosB=a ^ { 2 } +c ^ { 2 } -ac $ $ ⇒a ^ { 2 } -2ac+c ^ { 2 } =0⇒\left ( { a-c } \right ) ^ { 2 } =0⇒a=c. $ Vậy $ ABC $ là tam giác cân và có góc $ 60° $ nên là tam giác đều.