Cho $ ΔABC $ có $ G $ là trọng tâm và $ 5CB ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } $. Tính $ \cos \widehat { BGC } $.

Gọi $ M,\,N $thứ tự là trung điểm của cạnh $ AC,\,AB $ và $ G $là trọng tâm $ ΔABC $. Theo định lý cosin trong$ ΔABM $ ta có $ BM ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +MA ^ { 2 } -2AB.AM.cosA \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=AB ^ { 2 } +\frac { 1 } { 4 }AC ^ { 2 } -2AB.\frac { 1 } { 2 }AC.\frac { AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } -BC ^ { 2 } } { 2AB.AC } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac { 1 } { 2 }\left ( { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } } \right )-\frac { 1 } { 4 }AC ^ { 2 } $ Tương tự ta có $ CN ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }\left ( { AC ^ { 2 } +BC ^ { 2 } } \right )-\frac { 1 } { 4 }AB ^ { 2 } $ Có $ 5CB ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } $ $ ⇔CB ^ { 2 } =\frac { 1 } { 5 }\left ( { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } } \right )⇔\frac { 4 } { 9 }\left[ \frac { 1 } { 2 }\left ( { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } } \right )-\frac { 1 } { 4 }AC ^ { 2 } +\frac { 1 } { 2 }\left ( { AC ^ { 2 } +BC ^ { 2 } } \right )-\frac { 1 } { 4 }AB ^ { 2 } \right]=CB ^ { 2 } \\ ⇔\frac { 4 } { 9 }\left ( { MB ^ { 2 } +NC ^ { 2 } } \right )=CB ^ { 2 } \\ ⇔GB ^ { 2 } +GC ^ { 2 } =CB ^ { 2 } $ $ ⇔GB⊥GC $ $ ⇒ΔABC $có hai đường trung tuyến kẻ từ$ B $và kẻ từ $ C $ vuông góc với nhau $ ⇒cos \widehat { BGC }=0 $