Bài tự luận · Bài 20
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 20
Xét thị trường gồm ba loại hàng hoá gồm chè, cà phê, ca cao có hàm cung và hàm cầu tương ứng như sau:
$\begin{array}{lll} Q_{S_1}=-10+P_1; & Q_{D_1}=20-P_1-P_3 & \text{(chè)} \\ Q_{S_2}=2P_2; & Q_{D_2}=40-2P_2-P_3 & \text{(cà phê)} \\ Q_{S_3}=-5+3P_3; & Q_{D_3}=10-P_1+P_2-P_3 & \text{(ca cao)} \end{array}$
a) Hãy thiết lập mô hình cân bằng thị trường của ba loại hàng hoá trên.
b) Xác định giá và lượng cung cà phê ở trạng thái cân bằng thị trường.
$\begin{array}{lll} Q_{S_1}=-10+P_1; & Q_{D_1}=20-P_1-P_3 & \text{(chè)} \\ Q_{S_2}=2P_2; & Q_{D_2}=40-2P_2-P_3 & \text{(cà phê)} \\ Q_{S_3}=-5+3P_3; & Q_{D_3}=10-P_1+P_2-P_3 & \text{(ca cao)} \end{array}$
a) Hãy thiết lập mô hình cân bằng thị trường của ba loại hàng hoá trên.
b) Xác định giá và lượng cung cà phê ở trạng thái cân bằng thị trường.
Xem lời giải
Lời giải
a) Mô hình cân bằng thị trường của ba loại hàng hoá trên được cho bởi hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sau:
$\left\{ \begin{array}{l} Q_{S_1}=Q_{D_1} \\ Q_{S_2}=Q_{D_2} \\ Q_{S_3}=Q_{D_3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -10+P_1=20-P_1-P_3 \\ 2P_2=40-2P_2-P_3 \\ -5+3P_3=10-P_1+P_2-P_3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2P_1+P_3=30 \\ 4P_2+P_3=40 \\ P_1-P_2+4P_3=15 \end{array} \right. \ (I)$
b) Giải hệ phương trình (I), ta có:
(I) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2P_1+P_3=30 \\ 4P_2+P_3=40 \\ 2P_1-2P_2+8P_3=30 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2P_1+P_3=30 \\ 4P_2+P_3=40 \\ 2P_2-7P_3=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2P_1+P_3=30 \\ 4P_2+P_3=40 \\ 4P_2-14P_3=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2P_1+P_3=30 \\ 4P_2+P_3=40 \\ 15P_3=40 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P_1=\frac{41}{3} \\ P_2=\frac{28}{3} \\ P_3=\frac{8}{3}. \end{array} \right.$
Vậy ở trạng thái cân bằng thị trường, giá cà phê là $P_2=\frac{28}{3}$ và lượng cung cà phê là: $Q_{S_2}=2P_2=2\cdot \frac{28}{3}=\frac{56}{3}.$
$\left\{ \begin{array}{l} Q_{S_1}=Q_{D_1} \\ Q_{S_2}=Q_{D_2} \\ Q_{S_3}=Q_{D_3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -10+P_1=20-P_1-P_3 \\ 2P_2=40-2P_2-P_3 \\ -5+3P_3=10-P_1+P_2-P_3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2P_1+P_3=30 \\ 4P_2+P_3=40 \\ P_1-P_2+4P_3=15 \end{array} \right. \ (I)$
b) Giải hệ phương trình (I), ta có:
(I) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2P_1+P_3=30 \\ 4P_2+P_3=40 \\ 2P_1-2P_2+8P_3=30 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2P_1+P_3=30 \\ 4P_2+P_3=40 \\ 2P_2-7P_3=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2P_1+P_3=30 \\ 4P_2+P_3=40 \\ 4P_2-14P_3=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2P_1+P_3=30 \\ 4P_2+P_3=40 \\ 15P_3=40 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P_1=\frac{41}{3} \\ P_2=\frac{28}{3} \\ P_3=\frac{8}{3}. \end{array} \right.$
Vậy ở trạng thái cân bằng thị trường, giá cà phê là $P_2=\frac{28}{3}$ và lượng cung cà phê là: $Q_{S_2}=2P_2=2\cdot \frac{28}{3}=\frac{56}{3}.$