Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình $\sqrt{2^{x^{2}} - 16}\Big(x^{2} - 6x + 5\Big) \leq 0$.

Lời giải Điều kiện: $2^{x^{2}} - 16 \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} \geq 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \geq 2 \\ x \leq -2 \end{array} \right.$. Ta có: $$ \sqrt{2^{x^{2}} - 16}\Big(x^{2} - 6x + 5\Big) \leq 0 $$ $$ \Leftrightarrow \Big[ \begin{array}{l} 2^{x^{2}} - 16 = 0 \\ \Big\{ \begin{array}{l} 2^{x^{2}} - 16 > 0 \\ x^{2} - 6x + 5 \leq 0 \end{array} \end{array} \Leftrightarrow \Big[ \begin{array}{l} x = \pm 2 \\ \Big\{ \begin{array}{l} \Big[ \begin{array}{l} x > 2 \\ x < -2 \end{array} \\ 1 \leq x \leq 5 \end{array} \end{array} $$ $$ \Leftrightarrow \Big[ \begin{array}{l} x = \pm 2 \\ 2 < x \leq 5 \end{array} \Leftrightarrow x \in \{-2\} \cup [2; 5] $$ Do đó tập hợp các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là $T = \{-2; 2; 3; 4; 5\}$. Vậy bất phương trình $\sqrt{2^{x^{2}} - 16}\Big(x^{2} - 6x + 5\Big) \leq 0$ có 5 nghiệm nguyên.