Gọi $S$ là tập các giá trị của tham số $a$ để hàm số $y = f(x) = \begin{cases} x^{2} - 3x & \text{khi } x \neq 1 \\ a^{2} + a - 8 & \text{khi } x = 1 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Tính tích các phần tử của $S$.

Lời giải Khi $x \neq 1$, $f(x) = x^{2} - 3x$ là hàm số đa thức nên liên tục trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Do đó, hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm $x = 1$, tức là: $$ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) $$ $$ \Leftrightarrow \lim_{x \to 1} (x^{2} - 3x) = a^{2} + a - 8 $$ $$ \Leftrightarrow 1^{2} - 3 \cdot 1 = a^{2} + a - 8 $$ $$ \Leftrightarrow -2 = a^{2} + a - 8 \Leftrightarrow a^{2} + a - 6 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} a = 2 \\ a = -3 \end{cases} $$ Tập hợp các giá trị tìm được là $S = \{2; -3\}$. Tích các phần tử của tập hợp $S$ bằng: $$ 2 \cdot (-3) = -6 $$ Vậy tích cần tìm là $-6$.