Hàm số $v(t) = \begin{cases} -t^{2} + 4t + 12 & \text{khi } 0 \leq t \leq 5 \\ at - 3 & \text{khi } 5 < t \leq 10 \end{cases}$ mô tả vận tốc ($m/s$) của một vật tại thời điểm $t$ (giây) trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên kể từ khi vật bắt đầu chuyển động. Biết rằng $v(t)$ là hàm liên tục trên đoạn $[0; 10]$ và trong 10 giây đầu tiên đó, có hai lần vật đạt vận tốc $10\text{ m/s}$ là vào các thời điểm $t_1$ giây và $t_2$ giây. Tính $t_1 + t_2$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần 10).

Lời giải Hàm số $v(t)$ liên tục trên đoạn $[0; 10]$ nên hàm số liên tục tại điểm chuyển tiếp $t = 5$. Suy ra: $$ \lim_{t \to 5^{+}} v(t) = \lim_{t \to 5^{-}} v(t) = v(5) $$ $$ \Leftrightarrow \lim_{t \to 5^{+}} (at - 3) = \lim_{t \to 5^{-}} (-t^{2} + 4t + 12) = v(5) $$ $$ \Leftrightarrow 5a - 3 = -5^{2} + 4 \cdot 5 + 12 = 7 \Leftrightarrow 5a = 10 \Leftrightarrow a = 2 $$ Khi đó, hàm số vận tốc được biểu diễn hoàn chỉnh là: $$ v(t) = \begin{cases} -t^{2} + 4t + 12 & \text{khi } 0 \leq t \leq 5 \\ 2t - 3 & \text{khi } 5 < t \leq 10 \end{cases} $$ Vật đạt vận tốc $10\text{ m/s}$ tương ứng với phương trình $v(t) = 10$: * Trường hợp 1: Với $0 \leq t \leq 5$: $$ -t^{2} + 4t + 12 = 10 \Leftrightarrow t^{2} - 4t - 2 = 0 \Rightarrow t = 2 + \sqrt{6} \text{ (thỏa mãn } 0 \leq t \leq 5\text{)} $$ * Trường hợp 2: Với $5 < t \leq 10$: $$ 2t - 3 = 10 \Leftrightarrow 2t = 13 \Rightarrow t = \frac{13}{2} = 6,5 \text{ (thỏa mãn } 5 < t \leq 10\text{)} $$ Như vậy, ta xác định được $t_1 = 2 + \sqrt{6} \approx 4,4$ (giây) và $t_2 = 6,5$ (giây). Vậy $t_1 + t_2 = 2 + \sqrt{6} + 6,5 \approx 10,9$ (giây).