Cho hàm số $y = f(x) = \begin{cases} |x^{2} - 3x + 2| & \text{khi } x \geq 0 \\ x + 1 & \text{khi } x < 0 \end{cases}$. Hàm số $f(x)$ gián đoạn tại bao nhiêu điểm?

Lời giải Ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối để viết lại hàm số như sau: $$ f(x) = \begin{cases} x^{2} - 3x + 2 & \text{khi } x \geq 2 \\ -x^{2} + 3x - 2 & \text{khi } 1 < x < 2 \\ x^{2} - 3x + 2 & \text{khi } 0 \leq x \leq 1 \\ x + 1 & \text{khi } x < 0 \end{cases} $$ Trên các khoảng $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$ và $(2; +\infty)$, hàm số liên tục vì đều là các hàm đa thức. * Xét tính liên tục tại điểm nối $x = 0$: $\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} (x + 1) = 1$ $\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} (x^{2} - 3x + 2) = 2$ Vì $\lim_{x \to 0^{-}} f(x) \neq \lim_{x \to 0^{+}} f(x)$ nên hàm số gián đoạn tại $x = 0$. * Xét tính liên tục tại điểm nối $x = 1$: $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} - 3x + 2) = 0$ $\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} (-x^{2} + 3x - 2) = 0$ Vì $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = f(1) = 0$ nên hàm số liên tục tại $x = 1$. * Xét tính liên tục tại điểm nối $x = 2$: $\lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} (-x^{2} + 3x - 2) = 0$ $\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} (x^{2} - 3x + 2) = 0$ Vì $\lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = f(2) = 0$ nên hàm số liên tục tại $x = 2$. Vậy hàm số $f(x)$ gián đoạn tại đúng $1$ điểm (tại $x = 0$).