Tính tổng các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} x^{2} + x & \text{khi } x < 1 \\ 2 & \text{khi } x = 1 \\ m^{2}x + 1 & \text{khi } x > 1 \end{cases}$ liên tục tại $x = 1$.

Lời giải Ta có: * Giá trị hàm số tại $x = 1$ là $f(1) = 2$. * Giới hạn bên trái tại $x = 1$: $$ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + x) = 2 $$ * Giới hạn bên phải tại $x = 1$: $$ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} (m^{2}x + 1) = m^{2} + 1 $$ Hàm số liên tục tại $x = 1$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = f(1) \Leftrightarrow m^{2} + 1 = 2 \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1 $$ Tổng các giá trị thu được của tham số $m$ là: $1 + (-1) = 0$. Vậy $S = 0$.