Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng $ m=3\,kg $được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích $ SA,\,\,SB\,\,,\,SC\,,\,\,SD $ sao cho $ S.ABCD $ là hình chóp tứ giác đều có $ \widehat { ASC }=90° $. Biết độ lớn của lực căng mỗi sợi xích có dạng $ \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 4 }\left ( { N } \right ) $. Biết trọng lượng của vật nặng được tính theo công thức $ P=mg $, lấy $ g=10\,{ \rm{ m/s } } ^ { { \rm{ 2 } } } $. Khi đó giá trị của $ a $ bằng bao nhiêu?

Ta mô hình hóa chiếc cân bởi hình chóp đều $ S.ABCD $ với $ \left | { \overset\rightarrow { SA } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { SB } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { SC } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { SD } } \right |=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 4 } $ Ta có: $ ΔSAC $ vuông cân tại $ S $ nên $ AC=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 4 }.\sqrt[] { 2 }=\frac { a } { 2 } $. Suy ra $ BD=AC=\frac { a } { 2 } $. Từ đó suy ra $ AB=AD=CD=BC=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 4 } $. Vậy các mặt bên đều là tam giác đều. Ta có: $ \overset\rightarrow { SA }+\overset\rightarrow { SB }+\overset\rightarrow { SC }+\overset\rightarrow { SD }=4\overset\rightarrow { SO } $ mà $ \overset\rightarrow { SA }+\overset\rightarrow { SB }+\overset\rightarrow { SC }+\overset\rightarrow { SD }=\overset\rightarrow { P } $ Suy ra $ 4\overset\rightarrow { SO }=\overset\rightarrow { P }⇔\overset\rightarrow { SO }=\frac { 1 } { 4 }\overset\rightarrow { P } $ nên ta có $ SO=\frac { 1 } { 4 }P=\frac { 1 } { 4 }mg=\frac { 1 } { 4 }3.10=\frac { 15 } { 2 } $. Do $ ΔSAC $ vuông cân tại $ S $ nên $ SO=\frac { 1 } { 2 }AC $$ ⇔\frac { 15 } { 2 }=\frac { 1 } { 2 }.\frac { a } { 2 }⇔a=30 $. Vậy $ a=30 $.