Chào mừng Giáng sinh 2024 và năm mới 2025, nhà hát X tổ chức chương trình ca nhạc. Nếu có 10 khách đăng ký thì giá vé sẽ là 800 nghìn đồng/người. Nếu nhiều hơn 10 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người giá vé sẽ giảm 10 nghìn đồng/người cho toàn bộ nhóm khách hàng. Biết rằng với mỗi khách hàng, nhà hát sẽ mất 700 nghìn đồng cho chi phí vận hành và mỗi người chỉ được đăng ký 1 vé. Nhà hát sẽ cần bán tối đa bao nhiêu vé cho một nhóm khách để không bị lỗ?

Gọi $ x $ là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm$ \left ( { x∈\mathbb{N} } \right ) $. Số lượng vé bán ra là $ x+10 $ vé. Giá vé khi có thêm $ x $ khách là: $ 800-10.x $ (nghìn đồng/người). Doanh thu khi thêm $ x $ khách là: $ \left ( { x+10 } \right ).\left ( { 800-10x } \right )=10\left ( { x+10 } \right )\left ( { 80-x } \right ) $ (nghìn đồng) Chi phí thực sau khi thêm $ x $ vị khách là: $ 700.\left ( { x+10 } \right ) $ (nghìn đồng) Lợi nhuận khi thêm $ x $ vị khách là: $ \begin{array}{l} T=10.\left ( { x+10 } \right ).\left ( { 80-x } \right )-700.\left ( { x+10 } \right ) \\ =10.\left[ \left ( { x+10 } \right ).\left ( { 80-x } \right )-70.\left ( { x+10 } \right ) \right] \\ =10.\left ( { -x ^ { 2 } +100 } \right ) \end{array} $ Để nhà hát không bị lỗ thì $ T=10.\left ( { -x ^ { 2 } +100 } \right )≥0⇔-10≤x≤10 $. Mà $ x∈\mathbb{N} $ Khi đó số vé bán ra nhiều nhất cho một nhóm khách là $ x+10=10+10=20 $ vé thì Nhà hát không bị lỗ.