Trong các dãy số $(u_n)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_n$ sau, dãy số nào là dãy số giảm?

Lời giải A. $u_n = \sin n \Rightarrow u_{n+1} - u_n = 2 \cos\Big(n + \frac{1}{2}\Big) \sin\frac{1}{2}$ có thể dương hoặc âm phụ thuộc vào $n$ nên đáp án A sai. Hoặc dễ thấy $\sin n$ có dấu thay đổi trên $\mathbb{N}^*$ nên dãy $\sin n$ không tăng, không giảm. B. $u_n = \frac{n^2 + 1}{n} = n + \frac{1}{n} \Rightarrow u_{n+1} - u_n = 1 + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n^2 + n - 1}{n(n+1)} > 0$ nên dãy đã cho tăng nên B sai. C. $u_n = \sqrt{n} - \sqrt{n-1} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}}$, dãy $\sqrt{n} + \sqrt{n-1} > 0$ là dãy tăng nên suy ra $u_n$ giảm. Chọn C. D. $u_n = (-1)^n (2^n + 1)$ là dãy thay dấu nên không tăng không giảm. **Cách trắc nghiệm:** A. $u_n = \sin n$ có dấu thay đổi trên $\mathbb{N}^*$ nên dãy này không tăng không giảm. B. $u_n = \frac{n^2 + 1}{n}$, ta có $\begin{cases} n = 1 \Rightarrow u_1 = 2 \\ n = 2 \Rightarrow u_2 = \frac{5}{2} \end{cases} \Rightarrow u_1 < u_2 \Rightarrow u_n = \frac{n^2 + 1}{n}$ không giảm. C. $u_n = \sqrt{n} - \sqrt{n-1}$, ta có $\begin{cases} n = 1 \Rightarrow u_1 = 1 \\ n = 2 \Rightarrow u_2 = \sqrt{2} - 1 \end{cases} \Rightarrow u_1 > u_2$ nên dự đoán dãy này giảm. D. $u_n = (-1)^n (2^n + 1)$ là dãy thay dấu nên không tăng không giảm. **Cách CASIO:** Các dãy $\sin n; \, (-1)^n (2^n + 1)$ có dấu thay đổi trên $\mathbb{N}^*$ nên các dãy này không tăng không giảm nên loại các đáp án A, D. Còn lại các đáp án B, C ta chỉ cần kiểm tra một đáp án bằng chức năng TABLE. Chẳng hạn kiểm tra đáp án B, ta vào chức năng TABLE nhập $F(X) = \frac{X^2 + 1}{X}$ với thiết lập $\text{Start} = 1, \text{End} = 10, \text{Step} = 1$. Nếu thấy cột $F(X)$ các giá trị tăng thì loại B và chọn C, ngược lại nếu thấy cột $F(X)$ các giá trị giảm dần thì chọn B và loại C.