Một vật chuyển động tròn đều chịu tác động của lực hướng tâm, quỹ đạo chuyển động của vật trong mặt phẳng toạ độ $ Oxy $ là đường tròn có tâm$ A(1;1) $ và bán kính$ R=\frac { 13 } { 12 }. $ Vật chuyển động đến điểm $ M\left ( { \frac { 17 } { 12 };2 } \right ) $thì bị văng ra ngoài. Trong những giây đầu tiên sau khi vật bị văng ra ngoài, vật chuyển động trên đường thẳng có phương trình dạng $ 60x+by+c=0. $ Giá trị của $ b+c $ bằng bao nhiêu?

Theo đề bài thì tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm $ M\left ( { \frac { 17 } { 12 };2 } \right ) $ có phương trình dạng $ 60x+by+c=0. $ Đường thẳng tiếp tuyến có vecto pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 60;b } \right ) $. Vì tiếp tuyến đi qua điểm $ M\left ( { \frac { 17 } { 12 };2 } \right ) $ nên ta có $ 60.\frac { 17 } { 12 }+b.2+c=0⇔2b+c+85=0. $ Vecto $ \overset\rightarrow { AM }=\left ( { \frac { 5 } { 12 };1 } \right ) $ cũng là vecto pháp tuyến của đường thẳng tiếp tuyến nên nó cùng phương với vecto $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 60;b } \right ) $, suy ra $ 60:\frac { 5 } { 12 }=\frac { b } { 1 }⇔b=144. $ Suy ra $ c=-85-2b=-85-2.144=-373. $ Vậy $ b+c=144-373=-229. $