Giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x^{2} + 3} - 2}{x - 1} & \text{khi } x \neq 1 \\ m & \text{khi } x = 1 \end{cases}$ liên tục tại điểm $x_0 = 1$ là bao nhiêu?

Lời giải Ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến về $1$: $$ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^{2} + 3} - 2}{x - 1} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 3 - 4}{(x - 1)(\sqrt{x^{2} + 3} + 2)} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(\sqrt{x^{2} + 3} + 2)} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 3} + 2} = \frac{1 + 1}{\sqrt{1 + 3} + 2} = \frac{2}{4} = 0,5 $$ Mặt khác, ta có giá trị hàm số tại điểm khảo sát là $f(1) = m$. Hàm số liên tục tại điểm $x = 1$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow m = 0,5 $$ Vậy giá trị của $m$ là $0,5$.