Giá trị của tham số $ m $ để hàm số $ f(x)=\begin{cases} \dfrac { \sqrt[3] { x-2 }+2x-1 } { x-1 } & \text{khi } x≠1 \\ 3m-4 & \text{khi } x=1 \end{cases} $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ là bao nhiêu?

Với $ x≠1 $ ta có $ f(x)=\frac { \sqrt[3] { x-2 }+2x-1 } { x-1 } $ nên hàm số liên tục trên khoảng $ \mathbb{R}\setminus\left\{1\right\} $ Do đó hàm số liên tục trên $ \mathbb{R} $ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại $ x=1 $ Ta có: $ f(1)=3m-4 $ $ \lim\limits_{ x→1 } f(x)=\lim\limits_{ x→1 } \frac { \sqrt[3] { x-2 }+2x-1 } { x-1 } $ $ =\lim\limits_{ x→1 } \left[ 1+\frac { x ^ { 3 } +x-2 } { (x-1)\left ( { x ^ { 2 } -x\sqrt[3] { x-2 }+\sqrt[3] { (x-2) ^ { 2 } } } \right ) } \right] $ $ =\lim\limits_{ x→1 } \left[ 1+\frac { x ^ { 2 } +x+2 } { x ^ { 2 } -x\sqrt[3] { x-2 }+\sqrt[3] { (x-2) ^ { 2 } } } \right]=2 $. Nên hàm số liên tục tại $ x=1⇔3m-4=2⇔m=2 $. Vậy $ m=2 $ là giá trị cần tìm.