Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{ax^{2} + 1} - bx - 2}{4x^{3} - 3x + 1} & \text{khi } x \neq \frac{1}{2} \\ \frac{c}{2} & \text{khi } x = \frac{1}{2} \end{cases}$ ($a, b, c \in \mathbb{R}$). Biết hàm số liên tục tại $x = \frac{1}{2}$. Tính $S = abc$.

Lời giải Ta biến đổi biểu thức phân thức bằng phương pháp nhân liên hợp cho tử số: $$ \frac{\sqrt{ax^{2} + 1} - bx - 2}{4x^{3} - 3x + 1} = \frac{(\sqrt{ax^{2} + 1})^{2} - (bx + 2)^{2}}{(2x - 1)^{2}(x + 1)(\sqrt{ax^{2} + 1} + bx + 2)} $$ $$ = \frac{(a - b^{2})x^{2} - 4bx - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)(\sqrt{ax^{2} + 1} + bx + 2)} $$ Để hàm số liên tục tại điểm $x = \frac{1}{2}$, tử số phải phân tích được chứa nhân tử $(2x - 1)^{2}$ nhằm triệt tiêu mẫu số không xác định, tức là: $$ (a - b^{2})x^{2} - 4bx - 3 = m(2x - 1)^{2} \quad \text{và} \quad \sqrt{\frac{a}{4} + 1} + \frac{b}{2} + 2 \neq 0 $$ Đồng nhất hệ số phương trình trên ta thu được hệ kết quả: $$ \begin{cases} m = -3 \\ b = -3 \\ a = -3 \end{cases} $$ Khi đó, ta tiến hành khử nhân tử chung và tính giới hạn khử dạng vô định: $$ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\sqrt{-3x^{2} + 1} + 3x - 2}{4x^{3} - 3x + 1} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{-12x^{2} + 12x - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)(\sqrt{-3x^{2} + 1} - 3x + 2)} $$ $$ = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{-3(2x-1)^{2}}{(2x - 1)^{2}(x + 1)(\sqrt{-3x^{2} + 1} - 3x + 2)} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{-3}{(x + 1)(\sqrt{-3x^{2} + 1} - 3x + 2)} $$ $$ = \frac{-3}{\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{1}{4}} - \frac{3}{2} + 2\right)} = \frac{-3}{\frac{3}{2} \cdot 1} = -2 $$ Do đó $\frac{c}{2} = -2 \Rightarrow c = -4$. Vậy $S = abc = (-3)\cdot(-3)\cdot(-4) = -36$.