Cho hàm số $ f(x)=\begin{cases} \dfrac { x+1-\sqrt[] { 4x+1 } } { x-2 } & \text{khi } x>2 \\ \dfrac { m+1 } { 6 } & \text{khi } x≤2 \end{cases} $. Tìm giá trị của tham số $ m $ để hàm số liên tục tại $ x=2 $.

Ta có:$ f\left ( { 2 } \right )=\frac { m+1 } { 6 }=\lim\limits_{ x→2 ^ { - } } f\left ( { x } \right ) $. $ \lim\limits_{ x→2 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→2 ^ { + } } \frac { x+1-\sqrt[] { 4x+1 } } { x-2 }=\lim\limits_{ x→2 ^ { + } } \frac { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } -4x-1 } { \left ( { x-2 } \right )\left ( { x+1+\sqrt[] { 4x+1 } } \right ) } $ $ =\lim\limits_{ x→2 ^ { + } } \frac { x ^ { 2 } -2x } { \left ( { x-2 } \right )\left ( { x+1+\sqrt[] { 4x+1 } } \right ) }=\lim\limits_{ x→2 ^ { + } } \frac { x } { \left ( { x+1+\sqrt[] { 4x+1 } } \right ) }=\frac { 1 } { 3 } $. Hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục tại $ x=2⇔\lim\limits_{ x→2 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→2 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=f\left ( { 2 } \right )⇔m=1 $.