Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2} & \text{khi } x > 2 \\ 2x + a & \text{khi } x \leq 2 \end{cases}$. Giả sử hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 2$, tính $4a$.

Lời giải Ta có giá trị hàm số và giới hạn bên trái tại $x = 2$ bằng: $$ f(2) = 2 \cdot 2 + a = 4 + a = \lim_{x \to 2^{-}} f(x) $$ Tính giới hạn bên phải bằng phương pháp liên hợp trục căn thức: $$ \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x + 2 - 4}{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} $$ $$ = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} = \frac{1}{\sqrt{2 + 2} + 2} = \frac{1}{4} $$ Hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 2$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = f(2) \Leftrightarrow 4 + a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = \frac{1}{4} - 4 = -3,75 $$ Yêu cầu bài toán tính giá trị biểu thức $4a$: $$ 4a = 4 \cdot (-3,75) = -15 $$ Vậy giá trị $4a = -15$.