Trắc nghiệm · Câu 29
Với giá trị nào của tham số $a$ thì hàm số $y=f(x) = \begin{cases} \frac{x^{3}-1}{x-1} & \text{khi } x > 1 \\ 3ax+1 & \text{khi } x \le 1 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$?
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
C.
$a=\frac{2}{3}$.
Lời giải
Lời giải
+) Trên khoảng $(1; +\infty)$, ta có hàm số $y=f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}$ xác định nên hàm số liên tục trên $(1; +\infty)$.
+) Trên khoảng $(-\infty; 1)$, ta có hàm số $y=f(x)=3ax+1$ xác định nên hàm số liên tục trên $(-\infty; 1)$.
+) Tại điểm $x = 1$, ta có:
$$
\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{3}-1}{x-1} = \lim_{x \to 1^{+}} (x^{2}+x+1) = 3
$$
$$
\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (3ax+1) = 3a+1
$$
$$f(1) = 3a+1$$
Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:
$$
\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = f(1) \Leftrightarrow 3 = 3a+1 \Leftrightarrow a = \frac{2}{3}
$$