Cho phương trình $\sqrt{x^2 - 8x + m} = 2x - 1 \quad (1)$ với $m$ là tham số.

a) Đúng Với $m=8$ thay vào phương trình (1), ta được: $\sqrt{x^2 - 8x + 8} = 2x - 1$ Bình phương hai vế phương trình ta được: $x^2 - 8x + 8 = (2x - 1)^2 \Leftrightarrow x^2 - 8x + 8 = 4x^2 - 4x + 1 \Leftrightarrow 3x^2 + 4x - 7 = 0$. b) Sai Với $m=8$, ta có phương trình hệ quả: $3x^2 + 4x - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = -\frac{7}{3} \end{array}\right.$ Thử lại vào phương trình ban đầu: - Với $x = 1$: $\sqrt{1^2 - 8 \cdot 1 + 8} = 2 \cdot 1 - 1 \Leftrightarrow 1 = 1$ (thỏa mãn). - Với $x = -\frac{7}{3}$: Vế phải bằng $2 \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) - 1 = -\frac{17}{3} < 0$ (loại). Do đó phương trình chỉ có duy nhất một nghiệm $x = 1$, mệnh đề nói có hai nghiệm trái dấu là sai. c) Sai Với $m=1$ thay vào phương trình (1), ta được: $\sqrt{x^2 - 8x + 1} = 2x - 1$ Bình phương hai vế phương trình ta được: $x^2 - 8x + 1 = (2x - 1)^2 \Leftrightarrow x^2 - 8x + 1 = 4x^2 - 4x + 1 \Leftrightarrow 3x^2 + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = -\frac{4}{3} \end{array}\right.$ Thử lại vào phương trình ban đầu: - Với $x = 0$: $\sqrt{1} = 2 \cdot 0 - 1 \Leftrightarrow 1 = -1$ (vô lý). - Với $x = -\frac{4}{3}$: Vế phải âm (loại). Vậy phương trình vô nghiệm, tập nghiệm $S = \varnothing$. d) Đúng Ta có: $\sqrt{x^2 - 8x + m} = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 2x - 1 \ge 0 \\ x^2 - 8x + m = (2x - 1)^2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \ge \frac{1}{2} \\ m = 3x^2 + 4x + 1 \quad (*) \end{array}\right.$ Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $(*)$ có nghiệm $x \ge \frac{1}{2}$. Xét hàm số $y = 3x^2 + 4x + 1$ với $x \ge \frac{1}{2}$. Vì parabol có đỉnh $x_I = -\frac{2}{3} < \frac{1}{2}$ và hệ số $a = 3 > 0$ nên hàm số đồng biến trên $\left[\frac{1}{2}; +\infty\right)$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng này là $y\left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{15}{4} = 3{,}75$. Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m \ge \frac{15}{4} = 3{,}75$. Vì $m$ là số nguyên và thuộc đoạn $\left[-2024; 2025\right]$ nên $m \in \{4; 5; 6; \dots; 2025\}$. Số giá trị nguyên của $m$ là: $2025 - 4 + 1 = 2022$ giá trị.