Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC=10$, góc $ABC$ bằng $60^{\circ}$. Trên cạnh $AB$ ta lấy điểm $M$ sao cho $AM=3$ (như hình vẽ). Biết rằng $CM=\frac{8}{9}CA$ và $BM>8$. Đặt $BM=x \quad (x \ge 0)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đúng Áp dụng định lí côsin trong tam giác $MBC$ với $BM=x$, $BC=10$ và $\widehat{MBC}=60^{\circ}$, ta có: $MC = \sqrt{BM^2 + BC^2 - 2BM \cdot BC \cdot \cos 60^{\circ}} = \sqrt{x^2 + 10^2 - 2 \cdot x \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{x^2 - 10x + 100}$. b) Đúng Ta có điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$ (hoặc trên cạnh $AB$). Do đặt $BM = x$ và $AM = 3$ nên độ dài cạnh $AB = AM + BM = x + 3$. Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos 60^{\circ}} = \sqrt{(x+3)^2 + 10^2 - 2 \cdot (x+3) \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}}$ $= \sqrt{x^2 + 6x + 9 + 100 - 10x - 30} = \sqrt{x^2 - 4x + 79}$. c) Sai Theo giả thiết, ta có: $CM = \frac{8}{9}CA \Leftrightarrow 9MC = 8AC$. Thay các biểu thức tính theo $x$ từ câu a và b vào, ta được phương trình: $9\sqrt{x^2 - 10x + 100} = 8\sqrt{x^2 - 4x + 79}$. Mệnh đề c bỏ qua hệ số $\frac{8}{9}$ (hoặc hệ số tương ứng) nên là sai. d) Đúng Bình phương hai vế của phương trình $ 9\sqrt{x^2 - 10x + 100} = 8\sqrt{x^2 - 4x + 79} $, ta được: $ 81(x^2 - 10x + 100) = 64(x^2 - 4x + 79) $ $ \Leftrightarrow 17x^2 - 554x + 3044 = 0 $ Giải phương trình bậc hai này ta được $ x \approx 25{,}6 $ hoặc $ x \approx 7{,}0 $. Do $ BM > 8 $ nên giá trị $ x \approx 7{,}0 $ bị loại. Vậy $ BM \approx 25{,}6 $.