(THPT DTNT - Nghệ An 2025) Một bàn cờ vua gồm $ 8×8 $ ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật,… Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị bằng $ \frac { a } { b } $ với $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản và $ a,b\in \mathbb{Z} $. Tính giá trị biểu thức $ T=a+2b $.

Giải thích Bàn cờ $ 8×8 $ cần 9 đoạn thẳng nằm ngang và 9 đoạn thẳng dọc. Ta coi bàn cờ vua được xác định bởi các đường thẳng $ x=0,x=1,...,x=8 $ và $ y=0,y=1,...,y=8 $. Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường thẳng nằm ngang $ x $ và hai đường thẳng nằm dọc $ y $ nên có $ C_{ 9 } ^{ 2 }.C_{ 9 } ^{ 2 } $ hình chữ nhật hay không gian mẫu là $ n\left ( { Ω } \right )=C_{ 9 } ^{ 2 }.C_{ 9 } ^{ 2 }=1296 $. Gọi $ A $ là biến cố: “ Hình được chọn là hình vuông có cạnh $ a $ lớn hơn 4”. Trường hợp 1: $ a=5 $. Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng $ x $ cách nhau 5 đơn vị và hai đường thẳng $ y $ cách nhau 5 đơn vị có $ 4.4=16 $ cách chọn. Trường hợp 2: $ a=6 $. Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng $ x $ cách nhau 6 đơn vị và hai đường thẳng $ y $ cách nhau 6 đơn vị có $ 3.3=9 $ cách chọn. Trường hợp 3: $ a=7 $. Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng $ x $ cách nhau 7 đơn vị và hai đường thẳng $ y $ cách nhau 7 đơn vị có $ 2.2=4 $ cách chọn. Trường hợp 4: $ a=8 $. Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng $ x $ cách nhau 8 đơn vị và hai đường thẳng $ y $ cách nhau 8 đơn vị có $ 1.1=1 $ cách chọn. Do đó $ n\left ( { A } \right )=16+9+4+1=30 $. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị là: $ P\left ( { A } \right )=\frac { n\left ( { A } \right ) } { n\left ( { Ω } \right ) }=\frac { 30 } { 1296 }=\frac { 5 } { 321 }⇒\left \{ \begin{array}{l} a=5 \\ b=216 \end{array} \right.⇒T=a+2b=5+2.216=437 $.