Cho hàm số $ y=\frac { 2x+1 } { x+2 } $ có đồ thị $ \left ( { C } \right ) $. Viết phương trình tiếp tuyến của $ \left ( { C } \right ) $ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $ \left ( { d } \right ):y=3x+2 $

Ta có: $ f'\left ( { x_{ 0 } } \right )=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { x_{ 0 } } \right ) } { x-x_{ 0 } }=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { \frac { 2x+1 } { x+2 }-\frac { 2x_{ 0 } +1 } { x_{ 0 } +2 } } { x-x_{ 0 } } $ $ =\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { 3\left ( { x-x_{ 0 } } \right ) } { \left ( { x-x_{ 0 } } \right )\left ( { x+2 } \right )\left ( { x_{ 0 } +2 } \right ) }=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { 3 } { \left ( { x+2 } \right )\left ( { x_{ 0 } +2 } \right ) }=\frac { 3 } { \left ( { x_{ 0 } +2 } \right ) ^ { 2 } } $ Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $ \left ( { d } \right ):y=3x+2 $ có hệ số góc $ k=3 $ nên $ f'\left ( { x_{ 0 } } \right )=\frac { 3 } { \left ( { x_{ 0 } +2 } \right ) ^ { 2 } }=3⇔\left ( { x_{ 0 } +2 } \right ) ^ { 2 } =1⇔\left[\begin{array}{l} x_{ 0 } +2=1 \\ x_{ 0 } +2=-1 \end{array}\right.⇔\left[\begin{array}{l} x_{ 0 } =-1 \\ x_{ 0 } =-3 \end{array}\right.⇒\left[\begin{array}{l} y_{ 0 } =-1 \\ y_{ 0 } =5 \end{array}\right. $. Phương trình tiếp tuyến là $ y=y'\left ( { x_{ 0 } } \right )\left ( { x-x_{ 0 } } \right )+y\left ( { x_{ 0 } } \right ) $. Với $ x_{ 0 } =-1⇒PTTT:y=3\left ( { x+1 } \right )-1⇔y=3x+2 $ (loại do trùng với đường thẳng d). Với $ x_{ 0 } =-3⇒PTTT:y=3\left ( { x+3 } \right )+5⇔y=3x+14⇔3x-y+14=0 $ (thỏa mãn đề bài).