Phương trình tiếp tuyến của đường cong $ y=\frac { 2 } { x } $ tại điểm có tung độ $ y_{ 0 } =\frac { 1 } { 2 } $ là $ y=-\frac { a } { b }x+c $ (với $ a,b,c∈\mathbb{N},\,\,b≠0 $ và $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản). Tính giá trị của biểu thức $ T=a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } $.

Xét đường cong $ y=f(x)=\frac { 2 } { x } $ Ta có: $ f'(x_{ 0 } )=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { x_{ 0 } } \right ) } { x-x_{ 0 } }=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { \frac { 2 } { x }-\frac { 2 } { x_{ 0 } } } { x-x_{ 0 } }=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { -2\left ( { x-x_{ 0 } } \right ) } { x.x_{ 0 } \left ( { x-x_{ 0 } } \right ) }=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { -2 } { x.x_{ 0 } }=-\frac { 2 } { x_{ 0 } ^{ 2 } } $ Gọi $ M(x_{ o } ;y_{ o } ) $là tiếp điểm. Suy ra, $ y_{ o } =\frac { 1 } { 2 }⇒x_{ o } =4,\,\,f'(x_{ o } )=-\frac { 1 } { 8 } $. Khi đó, phương trình tiếp tuyến của đường cong $ y=f(x)=\frac { 2 } { x } $ tại điểm có tung độ $ y_{ o } =\frac { 1 } { 2 } $ là $ y=-\frac { 1 } { 8 }(x-4)+\frac { 1 } { 2 }⇔y=-\frac { 1 } { 8 }x+1 $. Suy ra $ a=1,\,b=8,c=1 $. Vậy $ T=a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } =1 ^ { 2 } +8 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } =66 $.